ADX फार्मूला

135 ^ 2 = (13 * 14)/25 = 182/25 = 18225
195 ^ 2 = (19 * 20)/25 = 38025

Methods of Integration |Integration using Trigonometric Identities

Integration by Substitution

If we have to evaluate an integral of the type

Case1 When the integrand is of the form
f(ax + b), we put (ax +b)= ADX फार्मूला t and dx =(1/a)dt

Case II When the integrand is of the form xⁿ⁻¹.f(ADX फार्मूला xⁿ), we put xⁿ = t and nxⁿ⁻¹dx = dt.

Case III When the integrand is of the form
ⁿ f'(x), we put f(x) = t and f'(x)dx=dt.

Case IV When the integrand is of the form
f'(x)/f(x) we put f(x) = t and f'(x)dx=dt.

Theorem

Proof
Putting ax+b=t
we get adx =dt or dx =(1/a)dt
∴ ∫(ax+b)ⁿdx=1/a∫ tⁿdt
=+C

∫(ax+b)ⁿdx =(ax+b)ⁿ⁺¹/a(n+1) +C

Integration Using Trigonometric Identities

When the integrand consists of trigonometric functions, we use known identities to convert it into a form which can easily be integrated. Some ADX फार्मूला of the identities useful for this purpose are given below:

(i)2sin²(x/2)=(1-cosx)

(ii)2cos²(x/2)=(1+cosx)

(iii)2sin a cos b =sin(a+b)+sin(a-b)

(iv)2cos a sin b =sin(a+b)-sin(a-b)

(v)2cos a cos b ADX फार्मूला =cos(a+b)+cos(a-b)

(vi)2sin a sin b =cos(a-b)-cos(a+b)

(i) ∫(sin3xsin2x)dx

∫(sin3xsin2x)dx
using 2sina sinb=cos(a-b)-cos(a+b) we have
∫(sin3xsin2x)dx=1/2∫(2sin3xsin2x)dx
=1/2∫(cosx-cos5x)dx
=1/2[∫(cosx)-∫(cos5x)dx
∫(sin3xsin2x)dx = (1/2)sinx – sin5x/10 +C

धूप छाँव ADX फार्मूला ADX फार्मूला

वैदिक गणित के पहले दो अंकों में हमने जाना कि कितनी सरलता से हम बड़े अंकों का गुणा (Multiply) कर सकते हैं। हमने उन Theorems की लिस्ट भी देखी जिनकी सहायता से हम बड़ी से बड़ी कैलकुलेशन भी सेकंड में कर सकेंगे। वेद ज्ञान का सागर है और इसी सागर की एक बूँद है वैदिक गणित। वैदिक गणित के सोलह सूत्रों को जानने की ADX फार्मूला कोशिश जारी रहेगी।

आज इस अथाह सागर की एक ADX फार्मूला बूँद से लेकर आये हैं Multiplication के ही कुछ Shortcuts. इसमें निखिलंसूत्र और ऊर्ध्वतिर्यग्भाम की सहायता से हम Shortcuts को समझेंगे।

निखिलंसूत्रं के कुछ टिप्स :

मान लीजिये आपने 7 का square निकालना है:

चूँकि 7 के लिये 10 को Base माना जायेगा अत: 10 में से 7 जितना कम ADX फार्मूला होगा उसे 7 से उतना ही घटायेंगे.. उदाहरण से समझ आ जायेगा।

(7 - 3)/(3*3) = 4/9 = 49
6^2 = (6-4)/(4*4) = 2/16=(2+1)/6 = 36
8^2 = (8-2)/(2*2) = 6/4 = 64

1.अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन का परिचय (Introduction to Integration of irrational algebraic function)-

अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) ज्ञात करनाल सीखेंगे। पहले इस आर्टिकल में आए हुए शब्दों बीजीय अपरिमेय संख्याएं तथा अबीजीय अपरिमेय संख्याएं किसे कहते हैं, इसको जानेंगे।
(1.)अपरिमेय संख्या (Irrational Number)-
कोई वास्तविक संख्या जिसे किसी पूर्णांक के भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सके अर्थात् वह संख्या जो परिमेय न हो जैसे।
अपरिमेय संख्या दो प्रकार की होती है।प्रथम बीजीय परिमेय संख्याएं तथा दूसरी अबीजीय परिमेय संख्याएं।
(2.)अपरिमेय फलन-
वह फलन जिसमें चर की घात भिन्नात्मक आती हो,एक अपरिमेय फलन कहलाता है।
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2.अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function)-

मानक अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of standard irrational algebraic function)-
(1.) \int < \frac < 1 >< \sqrt < a< x >^< 2 >+bx+c > > dx >
(2.) \int < \frac < px+q >< \sqrt < a< x >^< 2 >+bx+c > > dx >
प्रथम विधि- \int < \frac < 1 >< \sqrt < a< x >^< 2 >+bx+c > > dx > के समाकलन की दो स्थितियां है-
(a) जब a>0 तो

इसकी तीन स्थितियां हैं
(i ) जब < b >^< 2 >-4ac>0 तो

तब I=\frac < p > < 2a >\int < \frac < 2ax+b >< \sqrt < a< x >^< 2 >+bx+c > > > dx+(q-\frac < bp > < 2a >)\int < \frac < 1 >< \sqrt < a< x >^< 2 >+bx+c > > > dx
जहां प्रथम समाकलन में मानकर व द्वितीय समाकल को पूर्व स्थिति-I के द्वारा हल करते हैं।

3.अपरिमेय फलनों के उदाहरणों का समाकलन, अपरिमेय फलनों उदाहरण (Integration of irrational functions examples,Irrational functions examples)-

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) को समझा जा सकता है।
Example-4. \int < \frac < x+2 >< \sqrt < < x >^< 2 >-2x+4 > > dx >
Solution- I=\int < \frac < x+2 >< \sqrt < < x >^< 2 >-2x+4 > > dx > \\ x+2=A\frac < d > < dx >(< x >^< 2 >-2x+4)+B\\ \Rightarrow x+2=A(2x-2)+B\\ \Rightarrow x+2=2Ax+B-2A
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-